Ατέλειες – Το παράδοξο του Hambly (Α’ μέρος)

Παρόλο που σας φαίνεται παράδοξο, όλες οι θετικές επιστήμες κυριαρχούνται από την ιδέα των προσεγγίσεων. Όταν ένας άνθρωπος σου πει ότι ξέρει την ακριβή αλήθεια για οτιδήποτε, τότε μπορείς με ασφάλεια να συμπεράνεις ότι πρόκειται για ένα ανακριβή άνθρωπο.
Bertrand Russell

O Claude-Louis Navier, γνωστός από τις εξισώσεις Navier – Stokes, δουλεύοντας για την Γαλλική Ακαδημία των Επιστημών στο Παρίσι το 1826, έκανε μία συγκλονιστική ανακάλυψη και θεμελίωσε την μοντέρνα στατική ανάλυση ορίζοντας το γνωστό μέτρο Ελαστικότητας Ε, για πρώτη φορά σαν μία ιδιότητα των υλικών ανεξάρτητη της ροπής αδρανείας. Την ίδια χρονιά προσδιόρισε τα 3 και μόνο 3 σετ εξισώσεων που μπορούν να διατυπωθούν για να λύσουν έναν οποιοδήποτε στατικό φορέα. Κορωνίδα των παραπάνω εξισώσεων είναι οι εξισώσεις ισορροπίας, οι οποίες συνδέουν τις εσωτερικές δυνάμεις με την γνωστή και δεδομένη εξωτερική φόρτιση. Αν αυτές οι εξισώσεις αρκούν για να υπολογιστούν οι εσωτερικές δυνάμεις, τότε ο φορέας είναι, εξ ορισμού, ισοστατικός.

Το κτίριο της Ακαδημίας σήμερα στο Παρίσι,
από : en.wikipedia.org/wiki/French_Academy_of_Science

Αντίθετα, μία κατασκευή είναι υπερστατική όταν πρέπει να λυθούν και τα δύο άλλα σετ εξισώσεων για να λυθεί το βασικό στατικό πρόβλημα, της ανεύρεσης των εσωτερικών δυνάμεων. Συγκεκριμένοι κανόνες πρέπει να ακολουθηθούν για το πώς οι εσωτερικές δυνάμεις σχετίζονται με τις εσωτερικές παραμορφώσεις – η σχέση «τάσης – παραμόρφωσης» πρέπει να καθοριστεί η οποία μέχρι και την απαρχή των πλαστικών μεθόδων, συνήθως λαμβάνονταν ως γραμμική ελαστική. Βέβαια πολλά άλλα χαρακτηριστικά του υλικού μπορούν να παίξουν ρόλο στον υπολογισμό των εσωτερικών παραμορφώσεων – για παράδειγμα οι παραμορφώσεις λόγω θερμοκρασίας. Συμπερασματικά, οι εξισώσεις συμβατότητας χρησιμοποιούνται για να εφαρμόσουν γεωμετρικούς κανόνες. Όλα τα γεωμετρικά στοιχεία περιορίζονται στο να ταιριάζουν μεταξύ τους, οι εσωτερικές παραμορφώσεις σχετίζονται με τις εξωτερικές κινήσεις της κατασκευής και η κατασκευή συνολικά περιορίζεται από την επαφή της με το περιβάλλον.

Το παράδοξο του Hambly

Ο Dr Edmund Cadbury Hambly γεννημένος στο Seer Green του Buckinghamshire το 1942, ήταν ο εκατοστός τριακοστός πρόεδρος του Institution of Civil Engineers στο Λονδίνο. Μετά από την σύντομη προεδρεία του ένα βραβείο αποδίδεται με το όνομά του, τιμώντας την συμβολή των μηχανικών στην αειφορία των κατασκευών.

Το κτίριο Institution of Civil Engineers στο Λονδίνο,
από: en.wikipedia.org/wiki/Institution_of_Civil_Engineers

Ο Hambly, το 1985, έθεσε το παρακάτω παιδαγωγικό πρόβλημα για να αναδείξει την δυσκολία σχεδιασμού των υπερστατικών κατασκευών:

Ένας άνθρωπος που ζυγίζει 600Ν κάθεται σε ένα κάθισμα (σκαμπό) το οποίο έχει τρία πόδια. Ποια είναι η δύναμη σχεδιασμού για το κάθε πόδι?

Το κάθισμα θεωρείται ότι είναι απόλυτα συμμετρικό, ο άνθρωπος κάθεται στο κέντρο της θέσης κτλ. Η απάντηση στην ερώτηση είναι, φυσικά, 200Ν.

 
Τρίποδο και Τετράποδα καθίσματα, από images.google.gr

Ο ίδιος άνθρωπος τώρα κάθεται σε ένα τετράγωνο κάθισμα με τέσσερα πόδια, ένα σε κάθε γωνία και ξανά το κάθισμα και η φόρτιση είναι απόλυτα συμμετρικά. Για ποια δύναμη πρέπει τώρα να σχεδιαστούν τα πόδια του καθίσματος? Η απάντηση 600/4 = 150Ν δεν είναι απαραίτητα σωστή.

Ένα πολύ δύσκαμπτο, σχεδόν άκαμπτο, κάθισμα τοποθετημένο πάνω σε ένα σχεδόν άκαμπτο δάπεδο, θα τραμπαλίζεται· τρία από τα πόδια θα ακουμπάνε στο δάπεδο, ενώ το τέταρτο θα είναι στην πραγματικότητα στον αέρα. Σε αυτή τη περίπτωση, αν το τέταρτο πόδι δηλαδή απέχει από το δάπεδο έστω και ένα χιλιοστό του χιλιοστού, τότε η δύναμη που παραλαμβάνει είναι 0. Από απλή στατική συμμετρία προκύπτει ότι και το διαγώνια συμμετρικό πόδι θα παραλαμβάνει και αυτό μηδενική δύναμη. Στην πραγματικότητα δηλαδή το ανθρώπινο βάρος στηρίζεται στα δύο άλλα συμμετρικά πόδια του καθίσματος και άρα το κάθε ένα πρέπει να παραλάβει δύναμη 600 / 2 = 300Ν!

Όταν σχεδιάζουμε, υποθέτουμε ότι το κάθισμα έχει τοποθετηθεί σε ένα τυχαία σκληρό δάπεδο και άρα δεν υπάρχει τρόπος να θεωρήσουμε, a priori, ποια πόδια είναι σε επαφή – άρα όλα τα πόδια πρέπει να υπολογιστούν με βάση την δύναμη των 300Ν. Αυτό είναι και το παράδοξο – η ύπαρξη ενός τέταρτου ποδιού ενώ φαινομενικά φαίνεται σαν επιπλέον στήριξη, στην πραγματικότητα αυξάνει το φορτίο σχεδιασμού των ποδιών του καθίσματος!

Η ελαστική μέθοδος σχεδιασμού.

Για το κάθισμα με τα τέσσερα πόδια, μόνο τρεις εξισώσεις ισορροπίας είναι διαθέσιμες για τον υπολογισμό των τεσσάρων δυνάμεων στα πόδια του. Σε αυτό το απλό πρόβλημα, οι δυνάμεις των ποδιών είναι ίσες με τις αντιδράσεις που εφαρμόζονται στο δάπεδο, ας τις ονομάσουμε, R1, R2, R3 και R4. Αν ο άνθρωπος κάτσει απόλυτα συμμετρικά αλλά δεν θεωρήσουμε καμία άλλη γεωμετρική συμμετρία των ποδιών του καθίσματος, τότε το μόνο που ξέρουμε είναι ότι το άθροισμα των αντιδράσεων στο δάπεδο είναι 600Ν. Οι άλλες δύο εξισώσεις, που προκύπτουν από υπολογισμό μηδενικών ροπών, δείχνουν ότι τα διαγωνίως συμμετρικά πόδια έχουν ίσες δυνάμεις, δηλαδή R1 = R3 και R2 = R4. Κατ’ επέκταση δηλαδή R1 + R2 = 300Ν. Δυστυχώς όμως δεν υπάρχει άλλη εξίσωση να μας βοηθήσει στην επίλυση του προβλήματος. Το μόνο επιπλέον στοιχείο που ξέρουμε είναι ότι το φυσικό πρόβλημα απαιτεί και οι 2 δυνάμεις να είναι θετικοί αριθμοί, δηλαδή 0≤ R1, R2 ≤300.

(Πρέπει εδώ να σημειωθεί πως η συνθήκη ότι μόνο τρεις εξισώσεις ισορροπίας είναι διαθέσιμες για την ανάλυση του καθίσματος προκύπτει από την αρχική απλοποίηση στην μοντελοποίηση του προβλήματος. Για παράδειγμα ο σχεδιαστής έχει υποθέσει ότι τα πόδια του καθίσματος έρχονται σε σημειακή επαφή με το δάπεδο – οι απολήξεις των ποδιών είναι, ας πούμε, στρογγυλεμένες. Ακόμη, έχει θεωρηθεί ότι οι αντιδράσεις των ποδιών στο δάπεδο είναι κατακόρυφες – το δάπεδο είναι δηλαδή ομαλό. Αν στην πραγματικότητα η επαφή δεν είναι ομαλή, τότε μπορεί να εμφανιστούν οριζόντιες δυνάμεις στα πόδια του καθίσματος, με αποτέλεσμα να χρειάζονται και άλλες εξισώσεις και ο βαθμός στατικής απροσδιοριστίας να αυξηθεί απότομα.)

Το τετράποδο κάθισμα λοιπόν δεν μπορεί να λυθεί από την απλή στατική και για αυτό ο Navier έδειξε τον τρόπο επίλυσης. Είναι απαραίτητο να εισαχθεί στον υπολογισμό η έννοια της ελαστικής παραμόρφωσης – πρέπει να καθοριστούν οι καμπτικές ιδιότητες της «πλάκας» του καθίσματος, καθώς και η αξονική παραμορφωσιμότητα των ποδιών του. Η ανάλυση γίνεται αμέσως πολύπλοκη, αφού και μόνο η κάμψη μίας επίπεδης πλάκας που στηρίζεται σε τέσσερα σημεία είναι ένα δύσκολο πρόβλημα. Στην πραγματικότητα, ο σχεδιαστής μπορεί να κάνει κάποιες λογικές υποθέσεις, όπως  ότι η πλάκα είναι άκαμπτη και τα πόδια είναι και αυτά άκαμπτα, αλλά τότε δεν υπάρχει λύση στο πρόβλημα – μία ελαστική λύση προϋποθέτει την γνώση ελαστικών σταθερών. Ένας συμβιβασμός θα ήταν να υποθέσουμε την πλάκα άκαμπτη, αλλά να επιτρέπουμε ελαστική αξονική παραμόρφωση των ποδιών. Τότε προκύπτει μία σαφής λύση· όποιες και να είναι οι ελαστικές σταθερές των ποδιών, η δύναμη κάθε ποδιού είναι 150Ν.

Το τελευταίο αποτέλεσμα βέβαια επιτυγχάνεται με την υπόθεση (χωρίς ιδιαίτερη μέριμνα) των ομοιόμορφων συνοριακών συνθηκών (συνθηκών στήριξης των ποδιών)· ότι δηλαδή το δάπεδο είναι άκαμπτο και απόλυτα επίπεδο, και ότι όλα τα πόδια είναι ακριβώς του ίδιου αρχικού μήκους έτσι ώστε να έρχονται όλα σε επαφή με το δάπεδο. Στην πραγματικότητα όπως προαναφέρθηκε, οι συνοριακές συνθήκες είναι άγνωστες και τελικά αδιάγνωστες – ο άνθρωπος τοποθετεί το κάθισμα τυχαία σε ένα τυχαίο δάπεδο. Μπορεί εύκολα να θεωρηθεί ότι τυχούσες μικρές ατέλειες μπορούν να έχουν μία πολύ σημαντική επιρροή στο πρόβλημα υπολογισμού ενός καθίσματος ενώ ταυτόχρονα η ελαστική ανάλυση δεν μπορεί να ακολουθήσει και να εξηγήσει αυτή τη κοινή λογική. Αν το κάθισμα σχεδιαστεί με το ένα πόδι να μην ακουμπάει στο δάπεδο τότε θα προκύψουν πολύ διαφορετικές τιμές δυνάμεων στα πόδια για απόσταση μεταξύ ποδιού - δαπέδου 0.01, 0.1 ή 1mm. Αυτές οι διαφορετικές τιμές μπορούν προκύψουν από πειράματα· αν πραγματοποιηθούν πειράματα με μηκυνσιόμετρα πάνω στα πόδια τότε η δύναμη που θα μετριέται, μπορεί να παίρνει τιμές από 0 έως 300Ν, ενώ αρκετές τιμές θα είναι 0 ή και 300Ν.

Τέτοιες παρατηρήσεις έγιναν από την επιτροπή Έρευνας Μεταλλικών Κατασκευών γύρω στο 1930, οι οποίες κατέληξαν ότι η ελαστική μέθοδος σχεδιασμού με ατέλειες είναι το λάθος εργαλείο, γιατί οδηγεί σε λάθος αποτελέσματα. Ήταν αυτές οι παρατηρήσεις συνδυαζόμενες και από τις παρατηρήσεις των Kazinczy, Maier – Leibnitz και άλλων, που οδήγησαν τελικά στην πλαστική μέθοδο σχεδιασμού των μεταλλικών κατασκευών (ή και οποιαδήποτε άλλου ελατού υλικού).

Του Σίμου Γερασιμίδη

Αναφορές:
1. Jacques Heyman, Structural Analysis, 1998.
2. www.wikipedia.com
3. www.google.com