Ατέλειες – Το παράδοξο του Hambly (Β’ μέρος)

<< Δείτε το Α Μέρος

«Ο κόσμος ο ίδιος εγκυμονεί την αποτυχία, είναι η τέλεια εκδήλωση της ατέλειας, της συνείδησης της αποτυχίας.»
Henry Miller
«The world itself is pregnant with failure, is the perfect manifestation of imperfection, of the consciousness of failure.»
Henry Miller

Οι λέξεις «πλαστικός» και «πλάστιμος» είναι ουσιαστικά οι μαθηματικοί ορισμοί οριακών σταθερών συμπεριφορών. Για το απλό παράδειγμα μίας μεταλλικής δοκού, με εγκάρσια  φόρτιση, μία πιθανή αργή αύξηση του φορτίου οδηγεί στην ανάπτυξη πλαστικής άρθρωσης. Η στροφή που παρατηρείται σε αυτή την άρθρωση οδηγεί σε μεγάλες παραμορφώσεις, αλλά η διαδικασία αυτή είναι εν μέρει στατική, κρατώντας τα φορτία σταθερά. Το οπλισμένο σκυρόδεμα παρουσιάζει αυτή τη συμπεριφορά, τουλάχιστον για παραμορφώσεις που είναι συνήθεις στις κοινές κατασκευές. Στην πραγματικότητα οποιοδήποτε υλικό που χρησιμοποιείται στον πρακτικό σχεδιασμό (π.χ. αλουμίνιο ή ξύλο), είναι πλάστιμο με τον ίδιο τρόπο, σε αντίθεση με τα ψαθυρά υλικά (π.χ. γυαλί ή χυτοσίδηρος), τα οποία αν υπερφορτιστούν ρηγματώνονται και οδηγούνται σε καταστροφική αστοχία. Η μαρμάρινη κολώνα του Γαλιλαίου όταν αποθηκεύτηκε πλάγια, σε μία τυχαία υπερστατική κατάσταση, ρηγματώθηκε.

Αν τότε, είναι να πραγματοποιηθεί πλαστική ανάλυση για το κάθισμα, πρέπει να εξασφαλιστεί ότι η τελική αστοχία του κάθε ποδιού είναι πλάστιμη. Αυτό προϋποθέτει ότι το κάθε πόδι πρέπει να είναι «ενδοτικό», ικανό να αντέξει ένα οριακό «φορτίο θραύσης» χωρίς να εμφανίσει ασταθή συμπεριφορά.

Με αυτό το δεδομένο, η ιστορία φόρτισης του καθίσματος μπορεί τώρα να ακολουθηθεί (όπως πιθανόν να θεωρούνταν στα μέσα των της δεκαετίας του 1930) σαν ένα μεμονωμένο φορτίο στο κέντρο, αργά αυξανόμενο
Αρχικά, γενικά μόνο δύο πόδια σηκώνουν το φορτίο. Αν το φορτίο θραύσης του κάθε ποδιού είναι P, τότε τα δύο πόδια θα διαρρεύσουν υπό σταθερή θλίψη, όταν το μεμονωμένο φορτίο θα είναι 2Ρ. Η θλίψη των ποδιών υπό διαρροή και η ενδοσιμότητά τους, θα επιτρέψει τα αφόρτιστα πόδια να έρθουν σε επαφή με το πάτωμα και τότε το μεμονωμένο φορτίο θα μπορεί να αυξηθεί και πάνω από 2Ρ – στην πραγματικότητα μέχρι 4Ρ. Σε αυτό το τελικό στάδιο, και τα τέσσερα πόδια σηκώνουν το μέγιστο φορτίο τους ενώ ακολουθεί  μία μεγάλη μετακίνηση στο έδρανο του καθίσματος. Επομένως, ο πλαστικός σχεδιασμός του καθίσματος για ένα άνθρωπο 600Ν προϋποθέτει η τιμή του Ρ να είναι 150Ν και αυτή είναι η τιμή για την οποία κάθε πόδι θα πρέπει να σχεδιαστεί- φυσικά με τους κατάλληλους συντελεστές αβεβαιότητας κτλ. (μπορεί να υποτεθεί ότι ένας φορτιστικός συντελεστής 3 έχει ήδη υιοθετηθεί• μπορεί δηλαδή να υιοθετηθεί η προσέγγιση του Bleich• ο ενήλικας είναι αληθινός και ζυγίζει 600Ν, έτσι ώστε κάθε πόδι του καθίσματος σχεδιάζεται για αντοχή τρεις φορές  παραπάνω, δηλαδή 450Ν).

Η πλαστική λύση – κάθε πόδι να σχεδιαστεί για 150Ν – έχει ληφθεί ακλουθώντας την συγκεκριμένη φορτιστική ιστορία που παρουσιάζεται παραπάνω, όμως υπάρχουν και άλλες πιθανές ιστορίες. Για παράδειγμα, το ένα πόδι μπορεί να είναι πολύ κοντά από το πάτωμα και να έρθει σε επαφή όταν τα πρώτα δύο πόδια είναι ακόμη στην ελαστική περιοχή φόρτισής τους. Παρόλα αυτά μία αύξηση της φόρτισης σε αυτή τη περίπτωση τελικά, συμμετρικά, θα οδηγήσει τα δύο πόδια στην διαρροή και το φορτίο θα αυξηθεί μέχρι να επέλθει η κατάρρευση πάλι στην τιμή 4Ρ. Ή ακόμα, το κάθισμα μπορεί να είναι καρφωμένο στο τραχύ πάτωμα, έτσι ώστε τα πόδια να μπορούν να παραλαμβάνουν τόσο εφελκυστικές, όσο και θλιπτικές δυνάμεις. Η αρχική τοποθέτηση θα προκαλέσει μία κατάσταση αυτοφόρτισης, στην οποία τα δύο απέναντι πόδια θα σηκώνουν την ίδια εφελκυστική δύναμη, την στιγμή που τα άλλα δύο θα σηκώνουν την ίδια θλιπτική δύναμη. Η εφαρμογή και η αργή αύξηση του φορτίου στο κέντρο, θα προκαλέσει τα δύο πρώτα πόδια να διαρρεύσουν πρώτα ενώ η τιμή 4Ρ θα παραμείνει ίδια.

Άρα, ο απλός πλαστικός σχεδιασμός, που αποσκοπεί στον υπολογισμό των φορτίων θραύσης είναι ανεξάρτητος της πορείας του φορτίου (loading path), των αρχικών ατελειών, της θερμοκρασιακής επιμήκυνσης ή συρρίκνωσης ή ακόμα και των αρχικών καταστάσεων αυτοφόρτισης.


Σχεδιασμός με ασταθή στοιχεία.

Το παράδοξο του Hambly δεν ισχύει ούτε για τον βατό ελαστικό σχεδιασμό αλλά ούτε και για τον απλό πλαστικό σχεδιασμό – και οι δύο θεωρούν ότι το κάθισμα με τα τέσσερα πόδια πρέπει να σχεδιαστεί για 150Ν ώστε να σηκώσει ένα φορτίο 600Ν. Παρόλα αυτά, ο πλαστικός σχεδιασμός και μαζί το θεώρημα ασφάλειας του, ισχύει μόνο αν τα στατικά στοιχεία (τα πόδια του καθίσματος) είναι σταθερά. Αν ένα από τα πόδια λυγίσει, το διάγραμμα του φορτίου/μετακίνησης για αυτό το πόδι θα κορυφωθεί και θα σπάσει, αντί να παρουσιάσει την απαιτούμενη πλαστιμότητα σε ένα σταθερό φορτίο αστοχίας.

Για παράδειγμα, εφαρμόζοντας τον απλό πλαστικό σχεδιασμό, γνωρίζοντας τον κίνδυνο λυγισμού, αλλά βασιζόμενοι λανθασμένα στο θεώρημα της ασφάλειας, μπορούμε να σχεδιαστούμε κάθε πόδι να λυγίσει στα 160Ν. Αν το κάθισμα είναι τοποθετημένο σωστά και προσεκτικά πάνω σε ένα επίπεδο πάτωμα, τότε ένα φορτίο 600Ν θα προσδώσει σε κάθε πόδι 150Ν και όλα θα είναι καλά. Σε ένα τραχύ πάτωμα όμως, ένα πόδι μπορεί να μην έρχεται σε καθόλου επαφή με το πάτωμα και το φορτίο θα προκαλέσει (τουλάχιστον) ένα πόδι να λυγίσει και να παραμορφωθεί μόνιμα, οδηγώντας σε κατάρρευση του καθίσματος.

Αυτοί οι ισχυρισμοί εφαρμόζονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο και στον ελαστικό σχεδιασμό που σχεδιάζει επίσης ενάντια στην αστάθεια και που επίσης πιστεύει ότι οι δυνάμεις σε κάθε πόδι είναι 150Ν. Το γεγονός είναι ότι η ελαστική ανάλυση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αφού οι συνοριακές συνθήκες είναι άγνωστες και έτσι ο τελικός σχεδιασμός μπορεί να μην είναι ασφαλής. Ομοίως, ο πλαστικός σχεδιασμός είναι άκυρος και ανασφαλής αν υπάρχουν ασταθή στοιχεία στην κατασκευή. Η ερώτηση του Hambly εμφανίζεται να μην έχει απάντηση: για ποια δύναμη πρέπει να σχεδιαστεί κάθε πόδι του καθίσματος;

Του Σίμου Γερασιμίδη